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Algebra: Gruppen- Ringe- Körper (2. Auflage) by Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

By Christian Karpfinger, Kurt Meyberg

Dieses Lehrbuch bietet eine Einf?hrung in die grundlegenden Begriffe und Methoden der modernen Algebra. Die Algebra wird von vielen Studierenden als sehr abstrakt empfunden. Daher haben sich die Autoren bem?ht, die Ergebnisse und Begriffe mit zahlreichen Beispielen zu unterlegen. Die Beweisf?hrungen sind ausf?hrlich, gelegentlich werden sogar verschiedene Beweise aufgezeigt. Zahlreiche Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade (mit L?sungsvorschl?gen auf der web site) ?berpr?fen das Gelernte und f?rdern das tiefere Verst?ndnis.

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Example text

Ist N ein Normalteiler einer Gruppe G, so schreibt man dafür N G. 1 Für eine Untergruppe N einer Gruppe G sind gleichwertig: (1) N G. (2) a N a−1 ⊆ N für alle a ∈ G. Beweis: (1) ⇒ (2): Aus a N = N a für a ∈ G folgt a N a−1 = N . Also gilt (2). 44 4 Normalteiler und Faktorgruppen (2) ⇒ (1): Nach (2) gelten für jedes a ∈ G die beiden Inklusionen: a N a−1 ⊆ N und a−1 N a ⊆ N . Sie sind gleichbedeutend mit a N ⊆ N a und N a ⊆ a N , also mit a N = N a. Bevor wir zu den Beispielen kommen, wollen wir nur kurz anmerken, dass man die Eigenschaft a N a−1 ⊆ N für einen Normalteiler N einer Gruppe G nach bewährtem Rezept für alle a ∈ G nachweist: Man nehme x ∈ N (beliebig), a ∈ G (beliebig) und zeige a x a−1 ∈ N .

Es gelten: X ⊆ X ≤ G. X ⊆ U für jede Untergruppe U von G, die X enthält. In diesem Sinne ist X die kleinste Untergruppe von G, die X enthält. Man nennt U := X die von X erzeugte Untergruppe und X ein Erzeugendensystem von U . Und G heißt endlich erzeugt bzw. zyklisch, wenn G ein endliches Erzeugendensystem besitzt bzw. von einem Element erzeugt wird. 1 Erzeugendensysteme. Elementordnungen 31 Statt {a1 , . . , an } schreiben wir kürzer a1 , . . , an ; dass eine Gruppe G zyklisch ist, heißt somit: Es gibt ein a ∈ G mit G= a .

Dann gilt (a) G = sind. a∈G a U , wobei zwei Nebenklassen a U , b U entweder disjunkt oder gleich (b) |a U | = |U | = |U a| für jedes a ∈ G. (c) ψ : a U → U a−1 ist eine Bijektion von der Menge der Links- auf die der Rechtsnebenklassen von U in G. Beweis: (a) Wegen a = a e ∈ a U (beachte e ∈ U ) gilt G = a∈G a U . Somit ist G die Vereinigung seiner Linksnebenklassen. 7 (c) sind zwei Nebenklassen entweder diskunkt oder gleich. (b) Die Abbildungen ⎧ ⎧ ⎨ U → aU ⎨ U → Ua und ⎩ x → ax ⎩ x → xa sind wegen der Kürzregeln (vgl.

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