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Algebra

Allgemeine Algebra und Anwendungen by Dr. phil. Dietmar W. Dorninger, Dr. phil. Winfried B. Müller

By Dr. phil. Dietmar W. Dorninger, Dr. phil. Winfried B. Müller

Ausgehend von dem Werk des Arabers Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi "Hisab aljabr w'almuqabalah" (HinUberschaffen eines Gliedes einer Gleichung von einer Seite auf die andere) im eight. Jhdt. nach ehr., welches fUr die Algebra namensgebend conflict, verstand guy bis zum Beginn des 19. Jhdts. unter Algebra im wesentlichen die Lehre von der Losung alge braischer Gleichungen . Eines der Hauptprobleme der Gleichungslehre battle, die Frage zu beantworten, wann eine allgemeine Polynomgleichung n-ten Grades mit Hilfe der Grundrechnungsarten, des Potenzierens und Wurzel ziehens auflosbar ist. Diese Frage wurde von E. Galois in einer im Jahre 1831 bei der Franzosischen Akademie der Wissenschaften einge reichten Arbeit endgUltig entschieden. Galois verwendete bei seinem Be weis erstmals Hilfsmittel, die als charakteristisch fUr die moderne Al gebra angesehen werden konnen, namlich Eigenschaften von Gruppen und Korpern . - Angeregt durch Fragen der Logik folgten bald Untersuchungen anderer algebraischer Strukturen, namlich von Booleschen Algebren, und mit der Zeit wandelte sich die Bedeutung des Wortes Algebra hin zur Lehre von algebraischen Strukturen, so wie wir sie heute vornehml ich verstehen. Mit den vielen neu gewonnenen Ergebnissen Uber algebraische Strukturen gewann die Frage an Bedeutung, used to be diesen Ergebnissen gemeinsam ist, und so entstand vor etwa 30 Jahren eine neue Teildisziplin der Algebra, die sogenannte Universelle (oder Universale) Algebra. Zugleich mit dem development zur abstrakten Algebra hin geriet allerdings teilweise etwas in Ver gessenheit, dass viele Probleme der Algebra aus konkret en Fragen der An wendungen entstanden und fUr die Anwendungen bedeutsam sind

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Applied Algebra, Algebraic Algorithms and Error-Correcting Codes: 10th International Symposium,AAECC-10 San Juan de Puerto Rico, Puerto Rico, May 10–14, 1993 Proceedings

This quantity is the complaints of the tenth overseas Symposium on utilized Algebra, Algebraic Algorithms and Error-Correcting Codes (AAECC 10),held in Puerto Rico, may possibly 1993. the purpose of the AAECC conferences is to draw high-level study papers and to inspire cross-fertilization between various components which percentage using algebraic equipment and strategies for purposes within the sciences of computing, communications, and engineering.

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2 wiedergegeben. 2 Eine Phase an einer Kreuzung i s t durch eine Menge von paarweise miteinander vertr äglichen Verkehrs strömen charakterisiert . So einer Menge entspricht i n dem der Kreuzung zugeordneten Graphen G e in vollständiger Teilgraoh von G. g). falls VT cV. ET cE und gT(e) = g(e) fUr alle e €E T• und voZ~st~nd ig bedeutet fUr einen schlichten Graphen. daß von jedem Knoten zu jedem anderen Knoten eine ungerichtete Kante fUhrt (und sonst 37 keine Ka nt e n existieren). Offensichtlich ist ein v o l l s t ~ n di g e r schlichter Graph eindeutig durch die Angabe seiner Knotenmenge charakterisiert, sodaß wir diese auch als Kennze ichnung verwenden können.

In unserem obigen Beispiel ist {1,4,6,8} ein optimaler Teilgraph, {1,4,6} offensichtlich nicht. Um al le op ti ma l en Te ilgra ph e n von G z u f i nden , vereinba ren wir, vollständige Teilgra phen von G dadurch anzugeben, da ß wi r ihre Knot e nme nge n in Form von k-Tupeln (i 1,i 2, . . ,i k) mit i v_ 1 < iv f ür v = 2,3 , ... , k anschreiben und daB wir die ~1en ge aller vollst ändigen und damit auch aller optimalen Teilgraohen von G im Hinblic k auf diese Sch reibweise so wi e bei e inem Lexikon ordnen: Zuerst sollen alle Teilgraphen komme n , deren erster Knot e n 1 ist, dann alle.

3 lege man fest, welche Verkehrsströme miteinander verträglich sein sollen, und bestimme sodann die optimalen Phasen. 5. KONGRUENZRELATIONEN UND HOMOMORPHISMEN Ist K = {Ci li EI}, I eine beliebige Indexmenge, eine Klasseneinteilung einer Menge M, so i s t jede Klasse Ci aus K eindeutig durch jedes ihrer Elemente festgelegt. Es ist daher gerechtfertigt, die Klasse von K, in der e in Eleme'nt a E M liegt, mit a zu bezeichnen . Ein System {ai l i E I } von Elementen aus M, sodaß i n jeder Klasse Ci E K genau e in Element dieses Systems liegt, heißt ein Vert rete r - oder Repr~sent a ntensystem der 40 Klasseneinteilung K.

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