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Allgemeine Topologie by Professor Dr. Gerhard Preuß (auth.)

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U C X heiSt Umgebung von x, wenn in U eine offene Umgebung von x enthalten ist. lex) = { U I U Umgebung von x} heiSt Umgebungssystem von x. 7. Satz: Es sei (X,X) ein topologischer Raum. Eine Teilmenge M von X ist offen genau dann, wenn sie Umgebung eines jeden ihrer Punkte ist. Beweis: 1) M sei offen. Dann ist M Umgebung seiner Punkte. (Das gilt auch fUr die leere Menge, die keine Punkte enthalt). 2) 1st M Umgebung eines jeden Punktes XE M, so gibt es zu jedem x eine offene Menge Ox mit x s 0xC M.

B) 1n jeder Umgebung von x Punkte von A. 1st unter d1esen Umgebungen wen1gstens e1ne, d1e auBer x ke1nen Punkt von A enth~lt, so 1st x 1s011erter Punkt. Andernfa11s 11egen 1n jeder Umgebung von x auBer x noch Punkte von A. x 1st dann H~ufungspunkt von A. 12. Def1n1t10n: Es se1 (X,X) e1n topo10g1scher Raum, AeX. Dann he1Bt cA der ~ = 1('\ Ci von A. D1e E1emente von aA he1Ben Randpunkte von A. 13. 3r Menge 1st abgesch10ssen (a1s Durchschn1tt zwe1er abgesch10ssener Mengen) • ® G) = IrlCi = I()C(Ao) = I,Ao.

Bemerkungen: CD Jeder topologische Raum, der das 2. Abzahlbarkeitsaxiom erfiillt, erfiillt auch das erste. ) ® Ein topologischer Raum, der das erste Abzahlbarkeitsaxiom erfiillt, braucht nicht das zweite zu erflillen. Beispiel: (JR ,E,(JR») erflillt das erste Abzahlbarkei tsaxiom, weil {{ X H Umgebungsbasis von x Em ist. Das zweite hingegen ist nicht erfiillt, weil jede Basis von (JR ,E,(JR» aIle Mengen der Form 1x} mit x E JR en thaI t . 7. das zweite Abzahlbarkeits- ® axiom. ® Raum. } iat durch ~ (s.

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