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Cours de mathématiques, MPSI, by Alain Soyeur, Lycée Fermat

By Alain Soyeur, Lycée Fermat

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On dit que le syst`eme est une base du plan. → − v → − − − w =→ u +→ v → − u B C → − − − w =→ u +→ v A → − u → − v (a) Addition de deux vecteurs (b) Interpr´etation en d´eplacements Fig. → v Fig. 3 – Combinaison lin´eaire de deux vecteurs → − → − Parmi les bases possibles, on distingue une base particuli`ere, la base canonique form´ee des vecteurs ( i , j ) o` u → − → − i = (1,0) et j = (0,1). 2 : Composantes d’un vecteur dans une base − − − Si B = (→ u ,→ v ) est une base du plan, tout vecteur → w s’´ecrit de fa¸con unique comme combinaison lin´eaire des vecteurs de la base : → − − − w = λ→ u + µ→ v − Le couple de scalaires (λ,µ) s’appelle les composantes du vecteur → w dans la base B.

On dit qu’une fonction y : I → R est solution du probl`eme de Cauchy : (C) F (y ,y,t) = 0 y(t0 ) = y0 si et seulement si : 1. y est une fonction d´erivable sur l’intervalle I ; 2. ∀t ∈ I, F (y (t),y(t),t) = 0 ; 3. y(t0 ) = y0 . Parmi les ´equations diff´erentielles du premier ordre g´en´erales, on distingue : – Les ´equations du premier ordre explicites de la forme : (E) y = f (y,t) o` u f :R×I →R; – Les ´equations du premier ordre lin´eaires de la forme : (E) a(t)y + b(t)y = c(t) o` u a,b,c : I → R sont trois fonctions continues sur l’intervalle I ; – Les ´equations du premier ordre lin´eaires normalis´ees de la forme : (E) y + α(t)y = β(t) o` u α,β : I → R sont deux fonctions continues sur l’intervalle I.

10 – Fonctions sh et argsh La fonction argsh est d´erivable sur R et ∀x ∈ R, argsh (x) = √ 1 1 + x2 On a l’expression logarithmique de argsh : argsh x = ln(x + x2 + 1) On en d´eduit que √ 1 dx = argsh(x) + C = ln(x + 1 + x2 x2 + 1) + C Fonction argch La restriction de la fonction ch a ` l’intervalle I = [0, + ∞[ r´ealise une bijection strictement croissante de I vers [1, + ∞[. On appelle argch = ch−1 sa bijection r´eciproque. y = ch x y = argch x 1 1 Fig. 11 – Fonctions ch et argch La fonction argch est d´erivable sur ]1, + ∞[ et ∀x ∈]1, + ∞[, argch (x) = √ 1 x2 −1 On a l’expression logarithmique : argch x = ln(x + x2 − 1) et on en d´eduit la primitive : √ 1 dx = argch x + C = ln(x + x2 − 1 x2 − 1) + C Fonction argth La fonction th r´ealise une bijection strictement croissante de l’intervalle I =]−∞,+∞[ vers l’intervalle J =]−1,1[.

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