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German 9

Ein Näherungsverfahren zur numerischen Berechnung by Günther Woelk

By Günther Woelk

Viele physikalische Vorgänge, deren mathematische Behandlung und Klärung für eine große Anzahl von Einzelfällen bereits seit Jahrzehnten als abgeschlossen angesehen werden können, bereiten in ihrer numerischen Auswertung oft der­ artige Schwierigkeiten, daß der erforderliche Aufwand bei der Ausführung solcher Berechnungen vielfach in keinem angemessenen Verhältnis zum erzielten Nutzen steht. Diese Tatsache wird noch dadurch bekräftigt, daß die Auswer­ tungen der exakten mathematischen Formulierungen eine Genauigkeit der Er­ gebnisse vortäuschen, die der Wirklichkeit in keiner Weise entsprechen. Bei der exakten mathematischen Behandlung physikalischer Vorgänge ist es in den meisten Fällen unumgänglich, idealisierende Annahmen zu treffen. Inwieweit die hiermit erzielten Ergebnisse mit den Tatsachen übereinstimmen oder wie groß ihre Abweichungen sind, weiß der Benutzer der exakten mathematischen Formulierungen in der Regel nicht anzugeben. Diese Ausführungen sollen auf keinen Fall den Wert der exakten Wissenschaft schmälern oder ihre Notwendigkeit in Frage stellen, sondern es soll damit nur ausgedrückt werden, daß ihre Anwendung in vielen praktischen Fällen zu auf­ wendig und damit unwirtschaftlich ist. Dem Praktiker ist in solchen Fällen mit einem guten Näherungsverfahren besser gedient, solange seine Durchführung einfach und ohne mannigfache Hilfsmittel (Tabellen, Diagramme etc.) möglich ist. Wenn das Verfahren dann noch in geschlossener shape behandelt werden kann und nicht auf iterativen Methoden oder schrittweisern Berechnen von Funktionen beruht, so wird ein weiter Personenkreis eher dazu neigen, technische Probleme, die vielfach auf Grund von Erfahrung gelöst wurden, durch Rechen­ ergebnisse zu erarbeiten oder zu belegen. Zu der beschriebenen artwork von physikalischen Vorgängen gehören speedy alle Fragen der instationären Wärmeleitung.

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Al,i + dl,i) + 0,167· a2,i' dl , i) (175) Ändern sich während des Ausgleichsvorganges die Übergangswiderstände, so müssen von Zeit schritt zu Zeitschritt im Rekursionssystem die sonst konstanten Werte Co, Cl, C2 und r neu berechnet werden, was natürlich zu einer Steigerung der Rechenarbeit führt. Das Parabel verfahren bietet aber trotzdem gegenüber anderen Verfahren noch den Vorteil geringer Rechenarbeit und, was besonders zu bemerken ist, den Vorteil des bedenkenlosen Anwendens. So weisen zum Beispiel die auch sehr universellen Differenzenverfahren in verschiedenen Fällen bei bedenkenloser Anwendung Instabilitäten auf, die für den einzelnen Fall dann in der Regel eine theoretische Durchleuchtung erforderlich macht.

Die Platten werden dadurch auf der inneren Seite nur durch die eintretende Konvektion, auf der äußeren Seite durch Konvektion und Strahlung in eine auf Raumtemperatur von 25°C befindliche Umgebung gekühlt. Die Platten haben eine Dicke von 0,025 m und eine Höhe von 1,5 m. Die äußere Oberfläche der Platten sei bei ~ = 0, die innere bei ~ = 1. m 2 qs=c·, • (( TI 1000K )4 - 2 )4) (T 1000K + mit einem angenommenen konstanten e von 0,6. Ist T 2 = ({}K 273 grd) die Raumtemperatur, so errechnet sich der Wärmeübergangskoeffizient für die Strahlung

20 1/4 - 1/5 . Xl{ C(2 W 18 1 W 19 W20/(1 2 . W19) W 18 0,5 - 1/3 . W 21 0,5' W18 1/3 - 0,25' W 21 1/3 . W 18 0,25 - 0,2 . W21 W 22 . W 18 W23 - W24 . W21 + + + + + + + + W 9 + W'lO W14/(W5 . W 16) W 14/(W5 . W17) Ws {}m W8 {}(s, ti) W 3 - W2 {} (0, ti) a2,i al, i ao, i {}H fh ßit s ti+l ti Rechenvorschrift WH W 12 W 13 W 14 W 15 W 16 W 17 W18 W 19 W 20 W 21 W 22 W 23 W24 W25 WlO W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 W1 Rechenschema für das Parabelverfahren mit variablen Umgebungs- und Stottwerten Formblatt für das Parabelverfahren Bezeichnung Ta!

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