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Esercizi risolti di algebra lineare. by Claretta Carrara

By Claretta Carrara

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Applied Algebra, Algebraic Algorithms and Error-Correcting Codes: 10th International Symposium,AAECC-10 San Juan de Puerto Rico, Puerto Rico, May 10–14, 1993 Proceedings

This quantity is the court cases of the tenth foreign Symposium on utilized Algebra, Algebraic Algorithms and Error-Correcting Codes (AAECC 10),held in Puerto Rico, may possibly 1993. the purpose of the AAECC conferences is to draw high-level study papers and to motivate cross-fertilization between varied components which proportion using algebraic equipment and strategies for purposes within the sciences of computing, communications, and engineering.

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Example text

Verificare che l’insieme Rn [x] `e un sottospazio dello spazio vettoriale R[x]. Soluzione: Verifichiamo le due propriet` a richieste ai sotospazi: (1) Siano f (x), g(x) due elementi di Rn [x]: f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn , 2 Di conseguenza n g(x) = b0 + b1 x + b2 x + · · · + bn x , ai ∈ R bi ∈ R f (x) + g(x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + · · · + (an + bn )xn , a i , bi ∈ R 2. SOLUZIONI 51 e f (x) + g(x) ∈ Rn [x]. (2) Sia f (x) ∈ Rn [x] e λ ∈ R, allora λf (x) = λa0 + λa1 x + λa2 x2 + · · · + λan xn , λai ∈ R Quindi λf (x) ∈ Rn [x].

C. x ◦ x−1 = e. c. x ◦ (−x) = e. In notazione additiva: • Spazio vettoriale. Uno spazio vettoriale V `e un insieme dotato di due operazioni: la somma interna e il prodotto per scalari, e che gode delle seguenti propriet` a: (1) V `e gruppo commutativo rispetto alla somma, quindi – V ´e chiuso rispetto alla somma. – L’elemento neutro 0 appartiene a V . – Esiste l’opposto −v di ogni elemento v ∈ V . – La somma ´e commutativa. (2) Il prodotto per scalari gode delle seguenti propriet` a: – (k1 + k2 )u = k1 u + k2 u qualsiasi ki ∈ R e qualsiasi u ∈ V , – k(u + v) = ku + kv qualsiasi k ∈ R e qualsiasi u, v ∈ V , – (k1 k2 )v = k1 (k2 v) qualsiasi ki ∈ R e qualsiasi u ∈ V – 1u = u qualsiasi u ∈ V .

SOLUZIONI 31 Ricavando i parametri s e t e sostituendo si ottiene una equazione cartesiana: y+z =2 In alternativa si pu` o osservare che un piano pependicolare a π e π ′ `e anche perpendicolare alla retta loro intersezione. Di conseguenza il piano cercato `e perpendicolare al vettore (0, 1, 1) (direzione della retta intersezione), ovvero ha equazione del tipo y+z = k. 14. a) Determinare equazioni parametriche e cartesiane della retta r passante per i punti A = (2, 1, 3) e B = (1, 2, 1). b) Trovare un’equazione cartesiana del piano π parallelo alla retta r e all’asse z e passante per l’origine.

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