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Experimentelle Mathematik: Eine beispielorientierte by Jonathan Borwein, Keith Devlin, Roland Girgensohn

By Jonathan Borwein, Keith Devlin, Roland Girgensohn

Papier und Bleistift wurden lange als die einzigen Hilfsmittel der Mathematiker betrachtet (einige w?rden hier auch noch den Papierkorb dazuz?hlen). Wie in vielen anderen Gebieten auch, hat allerdings in den letzten Jahren der Einsatz von Computern in der Mathematik stark zugenommen und somit die Rolle des Experiments in der Mathematik erweitert und legitimiert. Wie k?nnen Mathematiker den computing device als Werkzeug benutzen? Und kann er vielleicht nicht nur als Werkzeug, sondern sogar als Mitarbeiter eingesetzt werden? Keith Devlin und Jonathan Borwein, zwei bekannte Mathematiker mit services in unterschiedlichen mathematischen Spezialgebieten, aber mit einem gemeinsamen Interesse am Experimentieren in der Mathematik, haben sich f?r diese Einf?hrung in die experimentelle Mathematik zusammengetan. Sie behandeln eine Vielfalt an Themen und Beispielen, um dem Leser einen guten Einblick in die aktuelle Entwicklung dieses rasch wachsenden neuen Gebietes zu geben. Die Darstellung ist klar und ?bersichtlich; die Erl?uterungen sind durch historische Fakten und Geschichten von Mathematikern und deren Begegnungen mit dem Gebiet der experimentellen Mathematik angereichert. Stimme zur Originalausgabe: “Das Buch wird f?r jeden Leser f?r Interesse sein, der anhand Kostproben kennen lernen m?chte, wie guy mathematische challenge mit einem computing device l?st. Es macht nichts, wenn die Leser nicht viele mathematische Kenntnisse mitbringen: Sie k?nnen das Wesentliche des Buchs verstehen und Spa? dabei haben, einige Fragestellungen experimentell zu erforschen.“ Valentina Dagien?, Zentralblatt MATH

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Das ist die berühmte Riemannsche Vermutung, deren Beweis sich in den letzten 150 Jahren auch den besten Mathematikern entzogen hat (so wie anscheinend erst kürzlich auch Wayne Rooney). Riemanns Arbeit von 1859 enthält keine Hinweise darauf, wie er auf diese Vermutung gekommen ist. Viele Jahre lang glaubten die Mathematiker, dass sie auf einer tiefgründigen Eingebung beruhen musste. Das führte dazu, dass die Riemannsche Vermutung lange als leuchtendes Beispiel für die Höhen herhalten musste, die man allein durch den reinen Intellekt erreichen kann.

Qn an aus gewissen anderen reellen Konstanten a1 , a2 , . . , an mit rationalen Koeffizienten q1 , . . , qn zu schreiben, äquivalent ist zu der Aufgabe, ganze Zahlen λ0 , λ1 , . . , λn zu finden mit λ0 = 0 und λ0 a + λ1 a1 + . . + λnan = 0. Falls beliebige reelle Zahlen a0 , a1 , . . , an und eine Detektionsschwelle ε > 0 vorgegeben sind, dann findet ein Integerrelationsalgorithmus entweder Koeffizienten λ0 , λ1 , . . , λn mit |λ0 a0 + λ1 a1 + . . + λnan | < ε oder teilt uns mit, dass innerhalb einer Kugel um den Ursprung mit einem Radius, den das Programm ebenfalls ausgibt, kein solcher Ausdruck existiert.

Euler fand die Werte der Riemannschen Zetafunktion auf den geraden Zahlen mittels einer heuristischen Meisterleistung, indem er seine Entdeckung der Produktformel für die sinc-Funktion, ∞ x2 sin(πx) = 1− 2 πx n n=1 , 45 Untersuchungen benutzte. 4 Dies setzte er dann mit der Maclaurinschen Reihe gleich und erhielt die Werte ζ(2) = π2 , 6 ζ(4) = π4 , 90 ζ(6) = π6 π8 , ζ(8) = , ... 945 9450 Allgemein folgt, dass der Wert von ζ(2n) ein rationales Vielfaches von π2n ist. (a) Versuchen Sie, daraus die oben angegebene geschlossene Darstellung abzuleiten.

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