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Fouriertransformation für Fußgänger. 7. Auflage by Tilman Butz

By Tilman Butz

Dieses unterhaltsame Lehrbuch wendet sich an alle, die in der Ausbildung und in ihrer beruflichen Praxis mit Fouriertransformationen zu tun haben. Das Buch behandelt sowohl Fourierreihen als auch kontinuierliche und diskrete Fouriertransformationen. Au?erdem werden Fensterfunktionen ausf?hrlich diskutiert. Zahlreiche Abbildungen und Beispiele, die vom Leser meist von Hand nachgerechnet werden k?nnen, machen den Stoff leicht verst?ndlich.

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4 Gibbssches Ph¨ anomen 27 Im Grenzfall N → ∞ mittelt sich alles zu 0, außer bei x = 0 (modulo 2π), dort w¨achst DN (x) u ¨ ber alle Maßen. Wir haben hier eine Darstellung der δ-Funktion (siehe Kap. 2) gefunden! ), und zweitens, limN →∞ DN (x) ist ein ganzer Rechen“ von ” δ-Funktionen im Abstand von 2π. 2 Integraldarstellung der Partialsummen Wir ben¨ otigen eine Darstellung, mit der wir uns behutsam von links und von rechts an die Unstetigkeit herantasten. 43) ein: +T /2 1 SN (t) = T (k = 0)-Term aus der Summe herausgenommen f (x)dx −T /2 +T /2 N + k=1 2 T f (x) cos dx −T /2 +T /2 = 2πkt 2πkx 2πkt 2πkx cos + f (x) sin sin T T T T 2 T f (x) 1 + 2 −T /2 N cos k=1 2πk(x − t) T dx +T /2 2 = T f (x)DN 2π(x−t) T dx.

Diese Asymmetrie der Formeln hat manche Wissenschaftler dazu verleitet, andere Definitionen einzufu ¨ hren, beispielsweise einen Faktor 1/ (2π) sowohl vor die Hin- als auch vor die Ru ¨ cktransformation zu schreiben. Dies ist nicht +∞ gut, da die Definition des Mittelwertes F (0) = −∞ f (t)dt davon in Mitleidenschaft gezogen werden wu ¨ rde. Korrekt, aber nicht weit verbreitet ist die Nomenklatur von Weaver: +∞ Hintransformation: f (t)e−2πiνt dt, F (ν) = −∞ +∞ Ru ¨ cktransformation: f (t) = F (ν)e2πiνt dν.

15)) und g(t) = cos ω0 t. 2 Theoreme und S¨ atze 45 Mit h(t) = f (t) · g(t) und dem 2. Verschiebungssatz erhalten wir: H(ω) = T 2 sin[(ω + ω0 )T /2] sin[(ω − ω0 )T /2] + (ω + ω0 )T /2 (ω − ω0 )T /2 . 0 = 0 - ! 0 - ! + 0 - ! Abb. 9. Fouriertransformierte von g(t) = cos ωt im Intervall −T /2 ≤ t ≤ T /2 Das bedeutet: die Fouriertransformierte der Funktion cos ω0 t innerhalb des Intervalls −T /2 ≤ t ≤ T /2 (und außerhalb gleich 0) besteht aus zwei Frequenzpeaks, je einem bei ω = −ω0 und ω = +ω0 . Die Amplitude wird natu atten wir ω0 = 0, dann g¨ abe ¨ rlich gerecht ( bru ¨ derlich“) aufgeteilt.

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