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La reduction formelle des equations differentielles a by Malgrange B.

By Malgrange B.

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5 34 ∀a ∈ R∗+ \{1} Les fonctions logarithmes. y = loga x x ∈ R∗+ ⇐⇒ x = ay y∈R ln x Comme cette égalité équivaut encore à ln x = y ln a, on en déduit y = , ln a c’est-à-dire : ln x ∀a ∈ R∗+ \{1} ∀x ∈ R∗+ loga x = ln a Toutes les fonctions logarithmes sont proportionnelles (Doc. 5). 2 COURS Fonctions usuelles Dérivée Pour tout a ∈ R∗+ \{1}, la fonction loga est dérivable sur R∗+ et : ∀x ∈ R∗+ (loga ) (x) = 1 1 · ln a x Pour s’entraîner : ex. 5 • Fonctions puissances La définition des fonctions exponentielles permet d’élever un réel strictement positif à la puissance d’un exposant réel quelconque.

Dérivables et pour t ∈ R, g (t) = 2 1+t 1 + t2 b) On en déduit immédiatement : ∀t ∈ R, 0 g (t) t 2 . t3 c) Pour t ∈ R+ , on obtient alors, en intégrant sur [0, t], 0 g(t) , 3 3 t c’est-à-dire : t − Arctan t t (∗). 3 2) a) f est définie et continue sur R∗ comme quotient de fonctions continues, elle est paire comme quotient de fonctions impaires. t2 f (t) 1 (∗), D’après (∗), nous pouvons écrire pour t > 0 : 1− 3 ce qui prouve, par le théorème d’encadrement, que lim+ f (t) = 1, f est t→0 continue à droite en 0, par parité, elle est continue à gauche en 0.

OBJECTIFS OBJECTIFS • Réviser les fonctions déjà connues : exponentielles, logarithmes, puissances, fonctions circulaires. • Découvrir de nouvelles fonctions : fonctions hyperboliques et hyperboliques réciproques, fonctions circulaires réciproques. • Préparer le cours d’analyse en disposant de nombreux exemples. 1 • Fonction logarithme népérien Nous verrons dans le chapitre 18 que toute fonction continue sur un intervalle possède des primitives sur cet intervalle. Les primitives d’une même fonction sur un intervalle sont égales à une constante près.

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