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Mathematik zum Studienbeginn, 10. Auflage by Arnfried Kemnitz

By Arnfried Kemnitz

Die Mathematik ist ein wichtiges Grundlagenfach f?r viele Studieng?nge an Fachhochschulen, Technischen Hochschulen und Universit?ten. Lehrerfahrungen in mathematischen Grundvorlesungen zeigen, dass viele Studienbeginner Anfangsschwierigkeiten in der Mathematik haben, wof?r es eine Reihe unterschiedlicher Ursachen gibt. Das Buch will helfen, solche Anfangsschwierigkeiten m?glichst zu vermeiden. Es ist begleitend zu den ersten Mathematik-Vorlesungen zu benutzen, f?r Br?ckenkurse und Vorkurse, aber auch zum Selbststudium und zur Wiederholung vor oder w?hrend des Studiums. In der zehnten Auflage wurden verschiedene Textteile ?berarbeitet und inhaltlich verbessert

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Mit Hilfe der Additionstheoreme f¨ ur die trigonometrischen Funktionen (vgl. 6) erh¨ alt man die Formel von Moivre (nach dem franz¨osischen Mathematiker Abraham de Moivre, 1667-1754). z n = [r(cos ϕ + i sin ϕ)]n = rn (cos nϕ + i sin nϕ) (n ∈ IN) Eine komplexe Zahl in trigonometrischer Form wird also in die n-te Potenz erhoben, indem man den Modul (r) in die entsprechende Potenz r n erhebt und das Argument (ϕ) mit dem Exponenten n multipliziert. Beispiel: 3. z = 5(cos 30◦ + i sin 30◦ ) = z4 5√ 5 3+ i 2 2 5 4 5√ 3+ i 2 2 5√ 4 5√ = 3 −6 3 2 2 = 5√ 3 5 5√ 5 3 3 · −4 3 i 2 2 2 2 √ √ 625 · 9 4 · 125 · 3 · 3 · 5 6 · 25 · 3 · 25 625 4 · 5 · 3 · 125 = i − + + − 16 4·4 16 8·2 2·8 √ 625 625 · 3 =− + i 2 2 z4 2 5 2 2 + 5 2 4 + 4 = [5(cos 30◦ + i sin 30◦ )]4 = 54 (cos 120◦ + i sin 120◦ ) 1√ 625 · 1 625 + 3 i) = − = 5 (− sin 30 + i cos 30 ) = 5 (− + 2 2 2 2 4 ◦ ◦ 4 √ 3 i Die Moivresche Formel l¨ asst sich durch vollst¨ andige Induktion beweisen.

Wegen der besonderen Bedeutung werden die u ¨ bertragbaren Regeln hier in Wurzelschreibweise wiederholt. 4 Regeln der Wurzelrechnung 1. Addieren und Subtrahieren Wurzeln kann man nur addieren oder subtrahieren, wenn sie in Radikand und Wurzelexponent u ¨ bereinstimmen. √ √ √ p n a + q n a = (p + q) n a Beispiel: 2 · √ √ √ √ 4 3 + 5 · 4 3 = (2 + 5) · 4 3 = 7 · 4 3 √ √ √ √ √ √ Fehlerwarnungen: 4 2 + 4 3 = 4 5, 3 2 + 4 2 = 7 2 (beides l¨asst sich nicht zusammenfassen) 2. Multiplizieren und Dividieren bei gleichem Radikanden Wurzeln mit gleichem Radikanden und den Wurzelexponenten n, m werden multipliziert, indem man aus dem in die (m + n)-te Potenz erhobenen Radikanden die nm-te √ √ √ m+n 1 1 1 1 n·m Wurzel zieht (denn n a · m a = a n · a m = a n + m = a n·m = am+n ).

6 Bruchrechnung 15 Beispiele: 27 27 : 3 9 a2 bc2 a2 bc2 : a2 bc c = = ; = 3 = 3 24 24 : 3 8 a bc a bc : a2 bc a Fehlerwarnung: Unterscheide K¨ urzen und Dividieren! 3 Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Br¨ uche Gleichnamige Br¨ uche (Br¨ uche mit dem gleichen Nenner) werden addiert oder subtrahiert, indem man die Z¨ahler addiert oder subtrahiert und den Nenner beibeh¨alt. 4 Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Br¨ uche Ungleichnamige Br¨ uche werden addiert oder subtrahiert, indem man sie auf den Hauptnenner bringt, also durch Erweitern gleichnamig macht.

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