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Matrizen und ihre Anwendungen 1: Grundlagen Für Ingenieure, by Dr.-Ing. Rudolf Zurmühl, Dr.-Ing. Sigurd Falk (auth.)

By Dr.-Ing. Rudolf Zurmühl, Dr.-Ing. Sigurd Falk (auth.)

Das Buch behandelt Matrizengleichungen und -funktionen sowie die computergerechte Darstellung und L?sung der Bewegungsgleichungen von Schwingungssystemen mit endlich vielen Freiheitsgraden und f?hrt in die Grundlagen der N?herungsmethoden von Rayleigh und Ritz ein. Das Eigenwertproblem wird, anders als sonst ?blich, von einem allgemeinen Standpunkt aus betrachtet. Dadurch gewinnt die Darstellung an Verst?ndlichkeit und an Anwendungsbreite. Das Buch ist sowohl f?r Studierende als auch f?r Physiker und Ingenieure in der Praxis geschrieben.

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4 Skalares Produkt, Betrag und Winkel reeller Vektoren 27 Vektoren der Länge 1 heißen Einsvektoren. Ein Vektor a beliebiger Länge läßt sich durch Division durch seine Norm auf die Länge 1 normieren. Eine in vieler Hinsicht bedeutsame Beziehung ist die sogenannte CauchySchwarzsehe Ungleichung (22) ausführlich: (22a) Unter Verwendung des Betragszeichens (21) nimmt sie die Form an (22b) Zum Beweis bildet man mit zunächst beliebigem reellem Faktor A la- Abl 2 = (a- Ab) T(a_ Ab) = a Ta- 2Aa Tb+A 2bTb~O Setzt man hier speziell so folgt Ungleichung (22).

1 Einführung des Matrizenproduktes Den Hauptinhalt des Matrizenkalküls bildet die von Cayley eingeführte Matrizenmultiplikation. Zu dieser Operation kommt man durch Hintereinanderschalten linearer Transformationen, wobei ihre Koeffizientenschemata, die Matrizen, eine bestimmte Verknüpfung erfahren, die man in naheliegender Weise als Multiplikation der Matrizen definiert. Zwei Vektoren x = {XI,x2" .. ,xml und Y = {YloY2,'" ,Ynl seien durch eine lineare Transformation verknüpft in der Form (1) mit der mn-Matrix A = (aik)' Die Komponenten Yk sollen wiederum linear verknüpft sein mit einem dritten Vektor Z = {Zl ,Z2' ...

Insbesondere hat man beispielsweise in einer Gleichung stets beide Seiten in gleicher Weise mit einer Matrix zu multiplizieren, entweder beide Seiten von rechts her oder beide von links her. 2 Sätze über Matrizenmultiplikation 21 In einer Kette von Matrizenfaktoren, etwa ABC . N, sind nur ihre beiden äußeren Enden, A und N, einer Multiplikation mit einer weiteren Matrix P zugänglich, also nur A von links her oder N von rechts her. Eine Umstellung der Faktoren ist wegen Gleichung (6) im allgemeinen nicht erlaubt.

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