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Meccanica quantistica: problemi scelti: 100 problemi risolti by Leonardo Angelini

By Leonardo Angelini

Questo libro è dedicato essenzialmente agli studenti che preparano l'esame scritto di un corso di Meccanica Quantistica. Di riflesso questa raccolta può risultare molto utile anche ai docenti che devono proporre problemi ai loro studenti sia a lezione che in line with gli esami. Si think che i contenuti del corso siano sostanzialmente identici a quelli di un tradizionale corso di Istituzioni di Fisica Teorica dei vecchi ordinamenti del corso di laurea in Fisica. Nei nuovi ordinamenti gli stessi argomenti sono stati, in generale, ripartiti su più corsi.

Come molti altri libri di problemi di Meccanica Quantistica non bisogna aspettarsi un particolare sforzo di novit� . L'intento è di presentare dei problemi che, oltre a sondare l. a. comprensione della materia e l'abilit� advert applicarla concretamente da parte dello studente, siano risolubili in un pace limitato ed utilizzando gli strumenti matematici che vengono normalmente forniti nei corsi in keeping with los angeles laurea in Fisica. Questo proposito difficilmente si coniuga con una ricerca di originalit� . Si troveranno quindi problemi che sono presenti anche in altri libri. los angeles categoria problemi che si possono risolvere in tempi ragionevoli (e quindi si adattano ai tempi di un esame scritto) non è l'unico criterio di scelta adottato. Rispetto agli altri libri non si troveranno advert esempio gli esercizi che sono normalmente presenti nei libri di Meccanica Quantistica come i potenziali quadrati unidimensionali o l'effetto Stark e los angeles struttura nice. Si è preferito scrivere le soluzioni con un certo dettaglio, eliminando soltanto i passaggi

più semplici. Questo costa una certa fatica a chi scrive, ma sicuramente risulter� utile agli studenti.

Come in ogni altro libro, i problemi sono stati raggruppati in capitoli. In molti casi l. a. scelta dell'attribuzione advert un capitolo può essere considerata arbitraria: molti problemi di esame presentano problematiche trasversali all'intero programma. los angeles scelta ovvia è stata di tenere conto delle domande più caratterizzanti.

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Determinare il periodo delle oscillazioni tra gli stati |1 > e |2 >. Soluzione Nella rappresentazione della base |1 , |2 l’Hamiltoniano diventa la matrice: √ √ 1 2 E 2E0 . = E0 H dove H = √ H= √ 0 2 0 2E0 0 Dall’equazione secolare ricaviamo gli autovalori di H : det(H − λI) = λ2 − λ − 2 = 0 ⇒ λ = −1, 2 . A λ = −1 corrisponde l’autovalore E1 = −E0 di H e l’autostato |E1 dato da: √ a a 2 √1 = −1 b b 2 0 da cui si ottiene, previa normalizzazione: 1 |E1 = √ 3 1 √ − 2 1 = √ |1 − 3 2 |2 . 3 Analogamente a λ = 2 corrisponde l’autovalore E1 = 2E0 di H e l’autostato |E2 dato da: √ 1 2 1 2 |1 + √ |2 .

B) Per quanto riguarda φ(x) sostituendo nell’equazione di Schr¨ odinger si ottiene: ε 2 1 =0 + + − cosh x cosh x cosh x e quindi ε = −1. Notiamo che per |x| → ∞ φ(x) → 0, quindi φ(x) rappresenta uno stato legato. Inoltre si tratta di una funzione priva di nodi, e quindi si tratta di uno stato fondamentale. 9 Oscillatore Armonico: operatori posizione e impulso Calcolare gli elementi di matrice degli operatori posizione e impulso nella base dell’energia dell’Oscillatore Armonico. Valutare i valori medi di entrambe le grandezze in un autostato dell’energia.

2 2 Al tempo t lo stato |ψ sar` a dato da ω ω 1 |ψ(t) = √ ei 2 t |0 + e−i 2 t |1 2 . Notiamo che [H, A] = [H, a] + [H, a† ] = ω(a − a† ) = −i ωB = 0 [H, B] = −i [H, a] − [H, a† ] = i ω(a + a† ) = i ωA = 0. 1 Sistema a due livelli (I) 53 A e B non commutano con H, quindi i valori medi di tali grandezze dipendono dal tempo. Infatti ω ω ω ω 1 0|e−i 2 t + 1|ei 2 t (a + a† ) ei 2 t |0 + e−i 2 t |1 2 ω ω ω ω 1 0|e−i 2 t + 1|ei 2 t ei 2 t |1 + e−i 2 t |0 = 2 1 iωt e + e−iωt = cos ωt = 2 < A2 >ψ = < (a + a† )(a + a† ) >ψ =< aa† + a† a >ψ = < {a, a† } >ψ =< I >ψ = 1 < (ΔA)2 >ψ = < A2 >ψ − < A >2ψ = 1 − cos2 ωt = sin2 ωt < A >ψ = ω ω ω ω 1 0|e−i 2 t + 1|ei 2 t (a − a† ) ei 2 t |0 + e−i 2 t |1 2 ω ω ω ω 1 0|e−i 2 t + 1|ei 2 t e−i 2 t |0 − e+i 2 t |1 = −i 2 1 = −i e−iωt − eiωt = − sin ωt 2 < B 2 >ψ = < i2 (a − a† )(a − a† ) >ψ = − < −aa† − a† a >ψ = < {a, a† } >ψ =< I >ψ = 1 < (ΔB)2 >ψ = < B 2 >ψ − < B >2ψ = 1 − sin2 ωt = cos2 ωt .

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