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# Periodic solutions of forced Kirchhoff equations by Baldi P.

By Baldi P.

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For seven years, Paul Lockhart’s A Mathematician’s Lament loved a samizdat-style attractiveness within the arithmetic underground, earlier than call for brought on its 2009 book to even wider applause and debate. An impassioned critique of K–12 arithmetic schooling, it defined how we shortchange scholars by means of introducing them to math the other way.

Control of Coupled Partial Differential Equations

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Basic Hypergeometric Series, Second Edition (Encyclopedia of Mathematics and its Applications)

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Example text

La photocopie non autorisée est un délit. ∀( x, y) ∈ A × B, ( x| y) = 0 A⊥ = { x ∈ E/∀ y ∈ A, ( x| y) = 0} x, y : deux vecteurs respectivement de A et de B A, B : deux parties orthogonales de E A⊥ : orthogonal de la partie A Inégalité de Bessel n ∑ j=1 |(e j | x)|2 x 2 E : espace vectoriel préhilbertien x : vecteur de E (e j ) j∈[1,n] : famille orthonormale de E Projecteur orthogonal Ker p = (Im p)⊥ Im p = (Ker p) ⊥ p : projecteur orthogonal sur Im p parallèlement à Ker p 24 [1] Mathématiques Attention : un projecteur orthogonal n’est pas une application orthogonale.

Si f est continue sur [ a; b], alors f est uniformément continue sur [ a; b]. Applications lipschitziennes Soient f : I → R et k ∈ R∗+ , on dit que la fonction f est klipschitzienne si et seulement si : ∀( x1 , x2 ) ∈ I 2 , | f ( x1 ) − f ( x2 )| k | x1 − x2 | Si k ∈ [0; 1[, l’application f est dite contractante. Une application lipschitzienne est uniformément continue. 6 sh′ x = ch x Dérivation Dérivée en un point Soient un point a ∈ I, où I est un intervalle, et une fonction f : I → K. f ( a + h) − f ( a) On dit que f est dérivable en a si et seulement si lim h h→0 existe et est finie.

Continuité sur un segment Soient ( a, b) ∈ R2 tel que a b et une fonction f : [ a, b] → R. Si f est continue, alors f est bornée et atteint ses bornes. Continuité uniforme Soit f : I → K, on dit que cette fonction est uniformément continue sur I si et seulement si : ∀ε > 0, ∃η > 0, ∀( x1 , x2 ) ∈ I 2 , | x1 − x2 | η =⇒ | f ( x1 ) − f ( x2 )| ε c Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. L’uniforme continuité implique la continuité. Théorème de Heine Soient ( a, b) ∈ R2 tels que a b et une fonction f : [ a; b] → R.