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Periodic solutions of forced Kirchhoff equations by Baldi P.

By Baldi P.

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La photocopie non autorisée est un délit. ∀( x, y) ∈ A × B, ( x| y) = 0 A⊥ = { x ∈ E/∀ y ∈ A, ( x| y) = 0} x, y : deux vecteurs respectivement de A et de B A, B : deux parties orthogonales de E A⊥ : orthogonal de la partie A Inégalité de Bessel n ∑ j=1 |(e j | x)|2 x 2 E : espace vectoriel préhilbertien x : vecteur de E (e j ) j∈[1,n] : famille orthonormale de E Projecteur orthogonal Ker p = (Im p)⊥ Im p = (Ker p) ⊥ p : projecteur orthogonal sur Im p parallèlement à Ker p 24 [1] Mathématiques Attention : un projecteur orthogonal n’est pas une application orthogonale.

Si f est continue sur [ a; b], alors f est uniformément continue sur [ a; b]. Applications lipschitziennes Soient f : I → R et k ∈ R∗+ , on dit que la fonction f est klipschitzienne si et seulement si : ∀( x1 , x2 ) ∈ I 2 , | f ( x1 ) − f ( x2 )| k | x1 − x2 | Si k ∈ [0; 1[, l’application f est dite contractante. Une application lipschitzienne est uniformément continue. 6 sh′ x = ch x Dérivation Dérivée en un point Soient un point a ∈ I, où I est un intervalle, et une fonction f : I → K. f ( a + h) − f ( a) On dit que f est dérivable en a si et seulement si lim h h→0 existe et est finie.

Continuité sur un segment Soient ( a, b) ∈ R2 tel que a b et une fonction f : [ a, b] → R. Si f est continue, alors f est bornée et atteint ses bornes. Continuité uniforme Soit f : I → K, on dit que cette fonction est uniformément continue sur I si et seulement si : ∀ε > 0, ∃η > 0, ∀( x1 , x2 ) ∈ I 2 , | x1 − x2 | η =⇒ | f ( x1 ) − f ( x2 )| ε c Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. L’uniforme continuité implique la continuité. Théorème de Heine Soient ( a, b) ∈ R2 tels que a b et une fonction f : [ a; b] → R.

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