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Physique du solide avancée by F. Mila

By F. Mila

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Conclusions : – la structure est une h´elice dont le vecteur d’onde correspond au minimum de J(k). – S’il y a plusieurs vecteurs d’onde qui minimisent J(k), on peut faire des combinaisons lin´eaires, ce qui peut conduire a ` une d´eg´en´erescence continue de l’´etat fondamental. Exemple : mod`ele J1 − J2 sur un r´eseau carr´e J1 J2 35 H = J1 = Si · Sj + J 2 <> Si · Sj J(k)Sk · S−k k J(k) = J1 eikx + e−ikx + eiky + e−iky + J2 eik(x+y) + eik(x−y) + e−ik(x+y) + eik(−x+y) = 2J1 (cos(kx ) + cos(ky )) + 2J2 (cos(kx + ky ) + cos(kx − ky )) = 2J1 (cos(kx ) + cos(ky )) + 4J2 cos(kx ) cos(ky ) La minimisation donne : ∂J = −2J1 sin(kx ) − 4J2 sin(kx ) cos(ky ) = 0 ∂kx ∂J = −2J1 sin(ky ) − 4J2 sin(ky ) cos(kx ) = 0 ∂ky kx = 0, kx = π ky = 0, ky = π ou −J1 = cos kx 2J2 cos ky = ce qui n’est possible que si J1 2J2 <1→ J1 2 < J2 .

2 Ondes de spin dans un syst` eme h´ elico¨ıdal : Consid´erons un syst`eme d´ecrit par l’hamiltonien H = 1 2 i Rn JRn Si · Si+Rn JRn e−ik·Rn J(k) = Rn et supposons que J(k) soit minimum pour k = Q. On va faire une rotation dans l’espace des spins de sorte que l’´etat fondamental classique soit d´ecrit par Siu = Siv = 0, Siw = 1. a et faisons une rotation d’angle θi = Q · Ri autour de S x : S u = S x , S v = cos θi S y − sin θi S z et S w = sin θi S y + cos θi S z . L’hamiltonien dans la nouvelle base s’´ecrit : 1 u JRn [Siu Si+n H = 2 i Rn v w + (cos θi Siv + sin θi Siw )(cos θi+n Si+n + sin θi+n Si+n ) v w + (− sin θi Siv + cos θi Siw )(− sin θi+n Si+n + cos θi+n Si+n )] car Sy Sz = cos θi Siv + sin θi Siw = − sin θi Siv + cos θi Siw 37 H = + + + + = 1 2 u JRn [Siu Si+n 1 2 u v w v w JRn Siu Si+n + cos(θi − θi+n ) Siv Si+n + Siw Si+n + sin(θi − θi+n ) Siw Si+n − Siv Si+n i Rn v v Si Si+n (cos θi cos θi+n + sin θi sin θi+n ) w Siw Si+n (sin θi sin θi+n + cos θi cos θi+n ) v w Si Si+n (cos θi sin θi+n − sin θi cos θi+n ) v Siw Si+n (− cos θi sin θi+n + sin θi cos θi+n )] i Rn Faisons la transformation de Holstein-Primakoff : Siw Si+ Si− u Siu Si+n = = v Siv Si+n = = w Siw Si+n = v Siw Si+n = w Siv Si+n = = S − a+ i ai ≡ Siu + iSiv ≡ Siu − iSiv √ 2Sai √ 2Sa+ i 1 + + − + Si+n S + Si− Si+n 4 i S + + + ai ai+n + a+ i ai+n + ai ai+n + ai ai+n 2 1 + − − Si+n − Si+ − Si− Si+n 4 S + + + − ai ai+n + a+ i ai+n − ai ai+n − ai ai+n 2 + S 2 − S(a+ i ai + ai+n ai+n ) √ S 2S ai+n + a+ i+n 2i √ S 2S ai + a + i 2i L’hamiltonien prend maintenant la forme : H = 1 2 i Rn S + JRn [ (ai ai+n + a+ i ai+n )(1 − cos(θi − θi+n )) 2 S + + (a ai+n + a+ i+n ai )(1 + cos(θi − θi+n )) 2 i + + [S 2 − S(ai ai + a+ i+n ai+n )] cos(θi − θi+n ) √ S 2S + (ai + a+ + i + ai+n + ai+n ) sin(θi − θi+n )] 2i JR n = 1 N k 1 Jk eik·Rn , ai = √ N 1 eik·ri ak , a+ i = √ N k e−ik·ri a+ k k Cet hamiltonien contient a priori des termes a ` un seul op´erateur de boson de la forme ai et a+ energie classique, qui est donn´ee par : i .

C’est vrai pour n=1 puisque [ak , a+ ] = 1. Supk posons que ce soit vrai a ` l’ordre pour n − 1. Il vient : [ak , (a+ )n ] = [ak , (a+ )n−1 ]a+ + (a+ )n−1 [ak , a+ ] k k k k k = (n − 1)(a+ )n−2 a+ + (a+ )n−1 k k k = n(a+ )n−1 k Ainsi, ak (a+ )n = n(a+ )n−1 + k (a+ )n ak k k donne 0 sur le vide et on obtient : ak |F > = l=k,−k = l=k,−k +∞ v (− uk )n (a+ )n−1 (a+ )n v 1 exp − l a+ a+ ul ul l − l 1 uk v 1 exp − l a+ a+ ul ul l − l v 1 −vk + a exp − k a+ a+ |0 > uk uk − k uk k − k k k n=1 (n − 1)! −k Finalement : |F > uk ak |F >= −vk a+ −k soit αk |F >= 0.

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